许 灏, 魏芝雅, 彭旭辉
(湖南师范大学数学与统计学院，长沙 410081)
近年来，学者们在保险精算领域的研究有很多[1–4]，考虑以下的经典风险模型
其中u为初始基金，c表示单位时间保费收入，{N(t),t ≥0}是一个Poisson 过程，Xi(i=1,2,···)为独立同分布的索赔序列。Poisson 过程的期望等于方差，这可能与实际情况不一致。在现实中，计数过程中的方差往往大于期望，这种现象通常被称为过度离散。许多模型用于描述过度离散，如广义线性混合模型、拟似然模型、泊松回归模型和多元统计模型等。在过去的几年中，由于Poisson-Geometric 过程更加贴合保险行业的实际情况，获得了广泛的关注。因此，关于这个话题有大量的文献，毛泽春和刘锦萼[5]研究了模型(1)，当{N(t),t ≥0}为Poisson-Geometric 过程。
然而，在实际中保费收入可能并不像模型(1)中关于时间的线性函数。为了弥补模型(1)的缺陷，Boikov[6]用另外一个复合Poisson 过程代替经典模型中的线性保费收入部分，推导出了关于生存概率的微积分方程。Dufresne 和Gerber[7]、Furrer 和Schmidli[8]则考虑在模型中加入布朗运动来模拟外界环境的干扰。赵金娥等[9]研究了一个Poisson-Geo metric 过程的风险模型，其中保费和索赔的发生均服从复合泊松几何过程。Sundt 和Teugels[10]研究了带利率的风险模型，在此模型下对破产概率进行了估计。除此之外，Kalashnikov 和Norberg[11]、Zhu 等[12]对带投资的风险模型进行了研究，在各自模型下分别得到了最终破产概率。多维风险模型也是研究的热点，Cheng 和Wang[13]、Li 等[14]均对二维风险模型进行了研究，得到了关于破产概率的上界估计和对参数变化的性质。近年来，Poisson-Geometric 计数过程得到了广泛关注。毛泽春和刘锦萼[15]研究了一个索赔是Poisson-Geometric 过程的风险模型，在他们的论文中，分析了破产概率的更新方程，得到了个人债权分布为phase-type 时的破产概率表达式。廖基定等[16]则在Poisson-Geometric 风险模型下求出了Gerber-Shiu 折现罚金函数的更新方程和破产概率的Pollazed-Khinchin 公式。受风险模型的启发，Chukovaa 和Minkova[17]介绍了一个新的点过程，称做P´olya-Aeppli 过程(GPAP)，具有潜在的指数分布。他们给出了这个过程的两个等价定义，并讨论了它的一些性质，例如，GPAP 过程到时间t事件发生次数的分布、等待时间的分布等等。在文献[18]中，作者假设P´olya-Aeppli 过程的强度参数是时间t的函数，并称此过程为非齐次P´olya-Aeppli Process(NHPAP)。另外，他们推导了关于NHPAP 的一些有趣的性质，并且就此过程对于一些特殊的强度函数进行了模拟说明。
本文考虑以下一维连续时间下具有随机投资组合的双复合Poisson-Geometric 过程风险模型
其中u表示初始资金，U(t)表示保险公司t时刻的资产，{Xi,i ≥0}表示独立同分布的保费序列，{N1(t),t ≥0}表示时间t内保费发生的次数，{Yi,i ≥0}表示独立同分布的索赔序列，{N2(t),t ≥0}表示时间t内索赔发生的次数。
首先，我们给出Poisson-Geometric 分布和Poisson-Geometric 过程的定义。
定义1 设λ>0,0≤ρ<1，称随机变量X服从参数为(λ,ρ)的Poisson-Geometric分布，记为X ∼PG(λ,ρ)，如果X的矩母函数为
定义2 设λ>0,0≤ρ<1，称{N(t),t ≥0}是参数为(λ,ρ)的Poisson-Geometric过程，如果满足：
1)N(0)=0；
2){N(t),t ≥0}具有独立平稳增量；
3) 对任意的t>0, N(t)∼PG(λt,ρ)。
对于风险模型(2)，我们作如下假设和规定：
1){N1(t),t ≥0}、{N2(t),t ≥0}分别是参数(λ1,ρ1)、(λ2,ρ2)的Poisson-Geometric过程；
其中θ>0 称作模型(2)的相关安全负载因子；
4) 泊松几何过程{N1(t),t ≥0}、{N2(t),t ≥0}以及随机变量序列{Xi,i ≥0}和{Yi,i ≥0}之间均相互独立。
定义模型(2)的破产时间为T= inf{t> 0|U(t)< 0}，基于T，我们定义无限时间破产概率ψ(u) =P(T<∞|U(0) =u)，有限时间破产概率ψ(u,t) =P(T 本文剩余部分做如下安排：第1 节利用鞅的性质和停时的技巧，得到了风险模型中破产概率的上界，Lundberger 不等式以及调节系数方程； 在这一章节，我们利用鞅方法和停时定理考虑破产概率的上界和无限时间的破产概率。在给出定理1 之前，我们先给出一个引理。我们令 引理得证。 因为随机变量Y恒正，容易得到MY(0)=1,limr→+∞MY(r)=+∞，并且MY(r1) 对于上述所得的关系式，取极限s →+∞，定理结论得证。 推论1 假设R是风险模型(2)中的调节系数，则有Ψ(u)≤e−Ru。 证明 在定理2 中，令R=r，并且注意到注意到g(R)=0，推论结果显然成立。 定理3 在风险模型(2)中，无限时间破产概率的表达式为 证明 由停时的理论可知，对于任意固定的s>0, T ∧s是有界停时。对盈余过程使用全概率公式以及利用鞅的性质，可以得到 在本节中，我们利用全概率公式得到无限时间的生存概率的积分方程和有限时间的生存概率的微积分方程。考虑保费和索赔额均服从指数分布FX(x) = 1−e−ax以及FY(y)=1−e−by，我们可以得到无限区间和有限区间生存概率的精确公式。 证明 和定理4 的证明方法类似，在充分小的时间∆t内，下列等式成立 通过化简可以得到 在上式中除以∆t，并取极限∆t →0，定理5 的前半部分得证。 将等式(8)和(9)代入到(10)中，可以得到 通过对u求连续的偏导，我们得到下列偏微分方程 其中φ依赖于u和t。为了帮助我们解决偏微分方程(12)，引入下列辅助函数 将方程(12)乘以因子e−ts，对t从0 积分到∞，我们能够得到下列常微分方程 显然常微分方程(13)有两个实根，一个是正根，一个是负根。又因为函数φ(u,t)取值范围为[0,1]，所以函数W(s,u)的值域是有界的，并且W(s,u) =K(s)eγ(s)u，其中γ(s)是常微分方程(13)的负根。同时，我们可以通过将u= 0 代入方程(13)中，解出参数K(s)。 注1从定理5 中，我们可以得到 这个结果和定理4 中的φ(u)保持一致。
第2 节分别推导出无限时间生存概率所满足的微积分方程以及有限时间生存概率所满足的偏微积分方程，在索赔和保费均为指数分布的情况下，本文求解出了关于破产概率的精确表达式。
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