基于通用数控加工的螺旋锥齿轮设计与造型方法研究

李儒琼，黄立新，陈 纯

（上海中侨职业技术大学，上海）

随着机械行业越来越向重型化发展，加工大模数高精度螺伞齿轮带来的制造瓶颈也越来越突出，因此，采用通用五轴加工中心加工大模数高精度的螺旋锥齿轮是一种较好的解决方案。

在实际的螺旋锥齿轮传动中，轮齿上各点到节锥顶点的距离始终是不变的，故其齿廓曲线应该是以节锥顶点为球心的球面曲线，这就为球面渐开线理论在模型设计方面提供了科学依据。现有的齿轮问题研究文献中，早期关于齿轮的研究主要是涉及齿轮几何特性和设计参数方法[1-4]，Tsai 和Chin 提出了一个用于锥齿轮的齿面建模方法[1]，Al-daccak[2]等人提出了基于精确的球面渐开线曲线的建模方法，目前，弧齿锥齿轮的造型方法主要有以下二种：一种是以微分几何和空间啮合原理为基础, 通过复杂的坐标变换和矩阵运算得到齿面方程, 由齿面方程获得大量齿面离散数据点，再由数据点拟合出齿面模型，另一种方法是直接运用三维造型软件进行实体建模。其中多以背锥上的平面渐开线代替理论的球面渐开线绘制近似的几何模型[4]，当球面半径R 与齿轮的模数之比越小时, 误差就越大[5]，且较难实现参数化。

为解决齿轮通用数控加工问题，本研究从齿轮数控加工的需要出发，提出一种螺旋锥齿轮的精确建模方法，具体过程可表述为，通过建立螺旋锥齿轮齿面参数方程，然后由齿形曲面与齿坯几何体裁剪得到精确轮冠齿型。从而为齿轮加工数控编程提供精确的几何模型。

1.1 作为齿向线的基圆锥螺旋线方程

定义螺旋线是一条阿基米德螺旋线[6]。如图1 所示，根据螺旋线的定义，基锥面上的任意一点一边匀速向上运动一边随母线绕轴线运动，其运动轨迹就是一条基圆锥面上的螺旋曲线。其中动点k 处的切线与母线的夹角为其螺旋角β，则螺旋线可以用方程表示为：

图1 基圆锥螺旋线

式中：βn为基圆上小端处的螺旋角；
α 为压力；
δ 为基锥角；
m 为齿轮设计模数；
z 为齿数。

1.2 作为齿廓线的渐开线方程

理论上，满足啮合定律的曲线均可以成为齿轮啮合的齿廓，工程上经常采用摆线，圆弧线，渐开线等，但基于渐开线在传动设计中的明显的优点，在实际应用中，渐开线齿廓应用更为广泛。渐开线形成原理见图2。

图2 渐开线形成原理

其参数方程为：

式中：r 是基圆M点径矢；
β*是渐开线上一点P 处的法矢。

1.3 基于齿向线和齿廓线的齿面矢量方程

将螺旋锥齿轮齿面参数方程由齿向线u 线和齿廓线v 线进行参数表示，则螺旋锥齿轮的齿面表达见图3。

图3 螺旋线渐开线齿面的矢量表示

此螺旋齿面方程可表达为式（6）：

1.4 齿面形成过程

在图4 中，螺旋锥齿轮齿面方程矢量可表达为：

在局部坐标系下形成的齿面见图4（a），图中，rφ为螺旋线在任一点o1处的径矢，过空间点o1的法面，在法面内以o1为圆心，r 为基圆半径做渐开线，所形成的齿面是距离分度锥为r 并具有螺旋线和渐开线特征的曲面，见文献[5]。

图4

由于这里的螺旋线和渐开线方程都是在局部坐标系下获得，所以，齿面方程求解就变成为将局部坐标系下的曲面方程转换为绝对坐标系下的方程问题。这个过程实际变成一个坐标系转换过程，首先，将渐开线由s1{o1，x1，y1，z1}变换到s2{o2，x2，y2，z2}，然后将齿面每一点由坐标系s2{o2，x2，y2，z2}变换到s{o，x，y，z},变换的坐标转换见图4（b），设变换过程矩阵为M02，变换方程表示为：

最终的曲面方程是由图4（b）绕z2逆时针旋转δ角度获得。即由坐标系s3{o3，x3，y3，z3}转为s{o，x，y，z}，见图4（c）。设变换过程矩阵为M23。最后，由式（15）即可求得螺旋锥齿轮的齿面方程。

1.5 齿面计算示例

设在辅助坐标系s3{o3，x3，y3，z3}中，渐开线表达式为：

根据文献[5]可求得变换矩阵M02，M23分别为：

这 里α，β，γ，α1，β1，γ1；
α2，β2，γ2分 别 是坐标系｛O2，x2，y2，z2｝的x2，y2，z2与绝对坐标系{O，x，y，z}的x，y，z 轴的夹角。

式中：δ 参数意义见图5。

图5 渐开线的形成与坐标变换

将式（17），式（18），式（16）代入式（15）即可求得螺旋锥齿轮左齿面方程。

同理可得出右齿面方程。

（1）通过三维建模软件生成齿坯模型（本研究采用UG 软件）。利用UG 表达式输入齿轮各参数，生成三维模型，导入由式（19）得到的曲面点数据，分别在三维软件中产生成左右齿面（见图6）。

图6 曲面点数据产生的轮齿左右曲面

（2）通过面切割实体，剪裁出单个齿。裁剪齿形见图7。

图7 裁剪齿形

（3）最后，构造出数控编程加工需要的三维实体模型。齿槽体见图8。

图8 齿槽体

本研究应用微分几何理论，依据齿轮传动原理，采用螺旋线和渐开线特性的曲线，构建了螺旋锥齿轮的精确曲面模型，其过程主要有螺旋齿面的参数方程矢量表示方法，齿面点数据的坐标变换，通过坐标系的分解可以很直观的理解复杂的空间变换问题，并获得了螺旋锥齿轮精确的数学模型，最后通过三维软件完成了具有数控加工特点的齿轮实体建模，为复杂齿轮采用通用数控加工方法提出了可行解决方案。

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