变的是形式,不变的是本质

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宋柏锋

数学问题的变化往往是變化题目的条件或结论,转换问题的内容和形式,而不更换问题的本质特征. 因此,真正理解加权平均数、中位数、众数、方差等的定义,是准确选择统计量和计算均衡程度统计量的关键本质.

一、选择统计量的关键

关键1:与数据位置有关选中位数

例1 在学校举办的“数学思维挑战赛”中,有19名选手进入决赛,前9名将晋级更高一级比赛,他们的决赛成绩各不相同,其中一名选手想知道自己是否晋级,除了知道自己的成绩外,他还需要了解这19名选手成绩的().

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

解析:中位数是通过排序得到的,它不受最大、最小两个极端数据的影响. 部分数据的变动对中位数没有影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用它来描述这组数据的集中趋势,常应用于“选拔”“录取”等生活情境. 故选B.

关键2:与数据集中度有关选众数

例2 要在某校选择256名身高基本相同的女同学组成表演方队,在这个问题中最值得我们关注的是该校所有女生身高的(填“平均数”或“中位数”或“众数”).

解析:众数是数据中出现次数最多的数,受极端值影响较小. 在这个问题中最值得关注的是队伍的整齐度,身高必须差不多. 故填众数.

关键3:方差不是越小越好

例3 某田径队中甲、乙两名跳高运动员最近 10 次成绩的平均数相同,且在“区运动会跳高纪录”附近,若甲跳高成绩的方差为[s2甲] = 65.84,乙跳高成绩的方差为[s2乙] = 285.21,那么单从方差的角度看,为了打破“区运动会跳高纪录”应选参加区运动会.

解析:方差越小越稳定,但在实际问题中,未必越稳定越好. 尤其是在选拔竞技比赛的运动员时,若每名备选运动员的平均水平相当,且都高于对手,则应选择方差小、发挥稳定的队员. 若每名备选运动员的平均水平相当,且都低于对手,则要选择方差大、发挥不稳定的队员. 因为在对手稳定发挥的前提下,只有超常发挥才有机会战胜对手赢得比赛. 故填乙.

二、均衡程度统计量计算的关键

关键1:精准判断加权平均数中的“权”

例4 (2023·湖南·湘潭)某校组织青年教师教学竞赛活动,包含教学设计和现场教学展示两个方面. 其中教学设计占20%,现场展示占80%. 某参赛教师的教学设计为90分,现场展示为95分,则她的最后得分为().

A. 95分 B. 94分 C. 92.5分 D. 91分

解析:加权平均数是将各数值乘相应的权数,然后相加求和,再除以总数.  加权平均数的权数常常以百分比、比值、频数的方式出现.  90 × 20% + 95 × 80% = 94(分). 故选B.

关键2:精准把握中位数中的“位”

例5(2023·湖南·张家界)2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”,某校开展了一次航天知识竞赛,共选拔8名选手参加总决赛,他们的决赛成绩分别是95,92,93,89,94,90,96,88,则这8名选手决赛成绩的中位数是___________________.

解析:中位数又称中值,是按一定顺序排列的一组数据中居于中间位置的数. 将数值由高到低或由低到高排序,是求解中位数相关问题的前提. 故填92.5.

关键3:灵活掌握方差计算公式

例6 已知一组数据x1,x2,x3的方差是2,那么另一组数据2x1 - 4,2x2 - 4,2x3 - 4的方差是__________________.

解析:如果 x1,x2,…,xn的方差为 s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2,x1- a,x2 - a,…,xn - a的方差为s2. 故填8.

关键4:严谨掌握极差的计算

例7 一组数据-3,1,2,x的极差为6,则x的值为__________________.

解析:极差是用来评价一组数据离散程度的统计量,是用一组数据中的最大值减去最小值得到的. 一组数据的极差受极端值的影响较大.

这组数据的极差为 6,而2 - (-3) = 5,由此可知未知数 x 是最值,可能是最大值,也可能是最小值,因此分两种情况讨论得出答案 . 故填3或-4.

分层作业

难度系数:★★解题时间:4分钟

1. 已知一组数据2,1,x,6的中位数是3,则x的值为__________________.

2. 某超市销售A,B,C三种矿泉水,它们每瓶的单价依次是2元、3元、3.5元,某天的销售情况如右图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是__________________元. (

(作者单位:大连市第三十七中学)

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